คณิตศาสตร์

อสมการ

1. 1. อสมการการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คณิ ตศาสตร์ พ้ืนฐาน ค33101
2. 2. การเขียนประโยคสัญลักษณ์ของอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ประโยคภาษา ประโยคสัญลักษณ์1) จานวนจานวนหนึ่งมีค่ามากว่าสาม x>32) จานวนหนึ่งมีค่ามากกว่าหรื อเท่ากับหก x63) สามเท่าของจานวนหนึ่ งบวกด้วยเจ็ดมากกว่าเก้า 3x + 7 > 94) ห้าเท่าของผลบวกของจานวนจานวนหนึ่งกับสองน้อย 5(x + 2) < 8 กว่าแปด5) จานวนจานวนหนึ่งบวกด้วยห้าน้อยกว่าหรื อเท่ากับสิ บ x + 5  106) ผลลบของจานวนจานวนหนึ่งกับเจ็ดไม่เท่ากับสี่ x–7≠ 47) หกบวกกับจานวนจานวนหนึ่งน้อยกว่าแปด 6+x<8
3. 3. ตัวอย่าง อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 1) x – 5 > 3 เป็ น อสมการ ที่มี x เป็ นตัวแปร 2) 3a + 7 < 9 เป็ น อสมการ ที่มี a เป็ นตัวแปร 3) 3m + 1  5 เป็ น อสมการ ที่มี m เป็ นตัวแปร 4) 7 – x < 8 เป็ น อสมการ ที่มี x เป็ นตัวแปร 5) 2x – 1 ≠ 5 เป็ น อสมการ ที่มี x เป็ นตัวแปร 6) x + 4 ไม่เป็ น อสมการ
4. 4. การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวโดยใช้สมบัติการไม่เท่ากัน 1. สมบัติการบวก 1.1 จาก 7 > –2 นา 3 มาบวกทั้งสองข้าง 7 + 3 > –2 + 3 10 > 1 (เป็ นจริ ง) 1.2 จาก 7 > –2 นา 3 มาลบทั้งสองข้าง 7 – 3 > –2 – 3 4 > –5 (เป็ นจริ ง)
5. 5. 1.3 จาก 7  –2 นา 3 มาลบทั้งสองข้าง 7 – 3  –2 – 3 4  –5 (เป็ นจริ ง) 1.4 จาก –2 < 7 นา 3 มาลบทั้งสองข้าง –2 – 3 < 7– 3 –5 < 4 (เป็ นจริ ง) 1.5 จาก –2  7 นา 8 มาลบทั้งสองข้าง –2 – 8  7 – 8 –10  –2 (เป็ นจริ ง)สมบัติการบวกและการลบเป็ นจริ ง ในเครื่ องหมาย < , >, ,
6. 6. 2. สมบัติการคูณ 1.1 จาก 4 > –2 นา 3 มาคูณทั้งสองข้าง 4 × 3 > (–2) × 3 12 > –6 (เป็ นจริ ง) 1.2 จาก 4 > –2 นา –3 มาคูณทั้งสองข้าง 4 ×(–3) < (–2) ×(–3) –12 < 6 (เป็ นจริ งได้ ต้องปรั บเครื่ องหมาย > ให้ เป็ น < )ในอสมการ เมื่อนาจานวนลบมาคูณ จะต้องมีการปรับเครื่ องหมายเป็ นตรงข้าม
7. 7. 1.3 จาก 5  –3 นา 6 มาคูณทั้งสองข้าง 5 × 6  (–3) × 6 30  –18 (เป็ นจริ ง) 1.4 จาก 7  –4 นา –3 มาคูณทั้งสองข้าง 7 ×(–3)  (–4) ×(–3) –21  12 (เป็ นจริ งได้ ต้องปรั บเครื่ องหมาย  ให้ เป็ น  )ในอสมการ เมื่อนาจานวนลบมาคูณ จะต้องมีการปรับเครื่ องหมายเป็ นตรงข้าม
8. 8. 1.5 จาก 8 > –6 นา 2 มาหารทั้งสองข้าง 8 > –6 2 2 4 > –3 (เป็ นจริ ง) 1.6 จาก 8 > –6 นา –2 มาหารทั้งสองข้าง 8 < –6 –2 –2 –4 < 3 (เป็ นจริ งได้ ต้องปรั บเครื่ องหมาย > ให้ เป็ น < )ในอสมการ เมื่อนาจานวนลบมาหาร จะต้องมีการปรับเครื่ องหมายเป็ นตรงข้าม ในอสมการ เมื่อนาจานวนลบมาคูณ หรื อหาร จะต้องมีการปรับเครื่ องหมาย เป็ นตรงข้าม
9. 9. ให้พิจารณา ศึกษา การแก้อสมการโดยใช้สมบัติการไม่เท่ากัน1. สมบัติการบวก และรวมถึงการลบ2. สมบัติการคูณ และรวมถึงการหาร ในสมบัติการคูณ และการหาร ต้องระวังการคูณหรื อการหารด้วย จำนวนลบต้องปรับเปลี่ยนเครื่ องหมายเป็ นตรงข้าม เช่น จาก > เปลี่ยนเป็ น < จาก < เปลี่ยนเป็ น > จาก เปลี่ยนเป็ น 
10. 10. ตัวอย่างที่ 1) จงหาค่า x จากอสมการ x – 4 > – 7การแก้อสมการ หรื อการหาค่าตัวแปร ในบรรทัดสุดท้ายเราต้องการ x เป็ นจานวนเท่าไรวิธีทา x – 4 > – 7 (เราต้องตั้งเป้ าหมาย กาจัดจานวนอะไรก่อน) นา 4 มาบวกทั้งสองข้าง x–4 +4 > –7 +4 (บวก แต่ ละข้ างของเครื่ องหมาย>) x > –3 คาตอบอสมการนี้คือ จานวนทุกจานวนที่มากกว่า –3 –3 0 (วิธีทาลัด) x – 4 > – 7 (กาจัดจานวน–4 ก่ อน) นา 4 มาบวกทั้งสองข้าง x > –7 +4 (บวก ข้ างซ้ ายเครื่ องหมาย>คือ –4+4 เป็ น 0 ) x > –3 คาตอบอสมการนี้คือ จานวนทุกจานวนที่มากกว่า –3 –3 0
11. 11. ตรวจคาตอบ 1) เลือก x = 0 จากอสมการ x – 4 > – 7 0 –4 >–7 –4 >–7 จริ ง
12. 12. ตัวอย่างที่ 2) จงหาค่า x จากอสมการ –2 x < – 8การแก้อสมการ หรื อการหาค่าตัวแปร ในบรรทัดสุดท้ายเราต้องการ x เป็ นจานวนเท่าไร วิธีทา –2 x < – 8 (เราต้ องตั้งเป้ าหมาย กาจัดจานวนอะไรก่ อน) นา –2 มาหารทั้งสองข้าง (นาจานวนลบ–2 หารต้ องเปลี่ยนเครื่ องหมาย <เป็ น>) – 2x > – 8 (หาร แต่ ละข้ างของเครื่ องหมาย) –2 –2 x > 4 คาตอบอสมการนี้คือ จานวนทุกจานวนที่มากกว่า 4 0 4 วิธีลด – 2x < – 8 ั (กาจัดจานวน–2 ก่ อน) นา –2 มาหารทั้งสองข้าง (หาร ข้ างซ้ ายเครื่ องหมาย คือ -2÷(-2) เป็ น 1 ) x > –8 (หาร ข้ างขวาของเครื่ องหมาย) –2 x > 4 คาตอบอสมการนี้คือ จานวนทุกจานวนที่มากกว่า 4 0 4
13. 13. ตรวจคาตอบ 2) เลือก x = 5 จากอสมการ –2 x < – 8 – 2 ( 5) < – 8 – 10 < – 8 จริ ง
14. 14. ตัวอย่างที่ 3) จงแก้อสมการพร้อมเขียนกราฟ จาก 3x + 34  2 – 5xการแก้อสมการ หรื อการหาค่าตัวแปร ในบรรทัดสุดท้ายเราต้องการ x เป็ นจานวนเท่าไรวิธีทา 3x + 34  2 – 5x (ซ้ ายกาจัด 34 และขวากาจัด – 5x )นา 34 มาลบ และ นา 5x มาบวกทั้งสองข้าง 3x + 5x  2 – 34 (บวก แต่ ละข้ างของเครื่ องหมาย) 8x  –32 (ซ้ ายกาจัด 8 จึงนา 8ไปหารทั้งสองข้ าง ) x  –32 ( นา 8 ไปหาร –32 ได้ –4 ) 8 x  –4 คาตอบอสมการนี้คือ จานวนทุกจานวนที่มากกว่าหรื อเท่ากับ –4 –4 0
15. 15. ตรวจคาตอบ3) เลือก x = 1 จากอสมการ 3 x + 34  2 – 5 x 3 ( 1) + 34 2 – ( 1) 5 3 + 34  2 – 5 37  –3 จริ ง
16. 16. ตัวอย่างที่ 4) จงแก้อสมการพร้อมเขียนกราฟ จาก 5 – x > 3x + 17วิธีทา 5 – x > 3x + 17 (ซ้ ายกาจัด 5 และขวากาจัด 3x )นา 5 มาลบ และ นา 3x มาลบทั้งสองข้าง –x – 3x > 17 – 5 (บวก แต่ ละข้ างของเครื่ องหมาย > ) –4x > 12 (ซ้ ายกาจัด–4 นา–4ไปหารต้ องเปลี่ยนเครื่ องหมาย> ) x < 12 ( นา –4 ไปหาร 12 ได้ –3 ) –4 x < –3 คาตอบอสมการนี้คือ จานวนทุกจานวนที่นอยกว่า –3 ้ –3 0
17. 17. ตรวจคาตอบ4) เลือก x = – 4 จากอสมการ 5 – x > 3 x + 17 5 – ( – 4 ) > 3( – 4 ) + 17 5 + 4 > – 12 + 17 9 > 5 จริ ง
18. 18. ตัวอย่างที่ 5) จงแก้อสมการพร้อมเขียนกราฟ จาก 3 – 4 (x – 5) < x + 8 แนวคิด มีวงเล็บต้ องใช้ สมบัติแจกแจง a(b + c)=ab +ac หรื อคูณถอดวงเล็บวิธีทา 3 – 4(x – 5) < x + 8 (–4 คูณ x – 5 ถอดวงเล็บได้ –4x + 20 ) 3 – 4x + 20 < x + 8 (ซ้ ายกาจัด 3 และ 20 ขวากาจัด x )นา3มาลบ 20มาลบ และ นา x มาลบ ทั้งสองข้าง –4x – x < 8 – 3 – 20 (บวก แต่ ละข้ างของเครื่ องหมาย < ) –5x < –15 (ซ้ ายกาจัด–5 นา–5ไปหารต้ องเปลี่ยนเครื่ องหมาย< ) x > –15 ( นา –5 ไปหาร –15 ได้ 3) –5 x > 3 คาตอบอสมการนี้คือ จานวนทุกจานวนที่มากกว่า 3 0 3
19. 19. ตรวจคาตอบ5) เลือก x = 5 จากอสมการ 3 – 4 ( –x5) < + 8 x 3–4( 5 –5 ) < 5 +8 3 – 4(0) < 13 3 –0 < 13 3 < 13 จริ ง
20. 20. ตัวอย่างที่ 6) จงแก้อสมการพร้อมเขียนกราฟ จาก 5 + 3(7 + x)  x + 14 แนวคิด มีวงเล็บต้ องใช้ สมบัติแจกแจง a(b + c)=ab +ac หรื อคูณถอดวงเล็บวิธีทา 5 + 3(7 + x)  x + 14 ( 3คูณ 7 +x ถอดวงเล็บได้ +21+3x ) 5 + 21 + 3x  x + 14 (ทางซ้ ายกาจัด 5 และ 21 ทางขวากาจัด x )นา 5มาลบ 21 มาลบ และ นา x มาลบ ทั้งสองข้าง 3x – x  14 – 5 – 21 (บวก แต่ ละข้ างของเครื่ องหมาย  ) 2x  –12 (ซ้ ายกาจัด 2 นา 2ไปหาร ) x  –12 ( นา 2 ไปหาร –12 ได้ –6) 2 x  –6 คาตอบอสมการนี้คือ จานวนทุกจานวนที่นอยกว่าหรื อเท่ากับ –6 ้ –6 0
21. 21. ตรวจคาตอบ6) เลือก x = -6 จากอสมการ 5 + 3(7 + x  x + 14 ) 5 + 3 ( 7 - 6 )  -6 + 14 5 + 3 (1)  8 5+ 3  8 8 = 8 จริ ง
22. 22. ตัวอย่างที่ 7) จงแก้อสมการพร้อมเขียนกราฟ จาก 8 – 3x  23 5วิธีทา 8 – 3 x  23 5 (ซ้ ายกาจัด 8 )นา 8 มาลบทั้งสองข้าง – 3 x  23– 8 (บวก แต่ ละข้ างของเครื่ องหมาย  ) 5 –3 x  15 (ซ้ ายกาจัด –3 นา–3 หาร นา 5 คูณ ) 5 5 x  15 ×(5) –3 ( นา –3ไปหาร 15 ได้ –5 แล้ ว คูณ 5 x  –25 คาตอบอสมการนี้คือ จานวนทุกจานวนที่มากกว่าหรื อเท่ากับ –25 – 25 0
23. 23. ให้พิจารณา ศึกษา การแก้อสมการอสมการที่มีเครื่ องหมาย ≠ให้ใช้เครื่ องหมาย = แทนแล้วใช้สมบัติการเท่ากัน1. สมบัติการบวก และรวมถึงการลบ2. สมบัติการคูณ และรวมถึงการหารเมื่อได้คาตอบให้ใช้เครื่ องเดิมเป็ น ≠
24. 24. ตัวอย่างที่ 8) จงแก้อสมการพร้อมเขียนกราฟ จาก 2 – 3x ≠ 10 – xวิธีทา 2 – 3x ≠ 10 – x ให้ใช้ = แทน ≠ แล้วแก้สมการ ให้ 2 – 3x = 10 – x (ด้ านซ้ ายกาจัด 2 และด้ านขวากาจัด –x )นา 2 มาลบ และ นา x มาบวกทั้งสองข้าง –3x + x = 10 – 2 (บวก แต่ ละข้ างของเครื่ องหมาย > ) –2x = 8 x = –2 8 ( นา –2 ไปหาร 8 ได้ –4 ) x = –4 (เปลี่ยนจาก = คืนเป็ น ≠ ) x ≠ –4 คาตอบอสมการนี้คือ จานวนทุกจานวนยกเว้น –4 –4 0
25. 25. ให้นกเรี ยนฝึ กแก้อสมการ ันักเรี ยนทาลงใน - กระดาษที่มีอยู่หรื อ - สมุดแบบฝึ กหัดของนักเรี ยน
26. 26. แบบฝึ กหัดที่ 5.2 จงแก้อสมการพร้อมเขียนกราฟต่อไปนี้ 1) 5 – 3x > 56 2) 16x + 3  103 – 4x 3) 17 – 8x > 56 + 5x 4) 5(9 – x)  4(x + 18) 5) 2(x + 3) – 5(x – 1 ) 6) 2/3x – 4 < 14
27. 27. เฉลย แบบฝึ กหัด 1) x < –17 2) x  5 3) x < – 34) x  – 45) x < – 76) x < 27 ต้องทาได้อย่างน้อย 4 ข้อ